x + y = 4, xy = 1 のとき、次の式の値を求めよ。
x^2 + y^2, x^3 + y^3, x^4 + y^4, x^5 + y^5
答え
x^2 + y^2
x^3 + y^3
x^4 + y^4
x^5 + y^5
x^4 + y^4の計算方法が分からなくて、ふと、Wolfram|Alphaに解けるかどうか気になったので試してみた所、あっさり解いてくれた。すごい。己より頭がいい。
ちなみに、指数をもっと大きくしても解いてくれる。たとえば、x^32+y^32、や、x^32 + y^31などだ。私は手で計算して確かめたいとは思わない。
2 comments:
> x^4 + y^4の計算方法が分からなくて
f(n) = x^n + y^nとおいて、f(2n) = f(n)^2 - 2( (xy)^N)を使って次数を下げていくのが基本でしょうね。
例)
f(1) = x + y = 4
f(2) = f(1)^2 - 2 = 16-2 = 14
f(4) = f(2)^2 - 2 = 14^2 - 2 = 194
f(8) = f(4)^2 - 2 = 194^2 - 2 = 37634
f(16) = f(8)^2 - 2 = 1416317954
f(32) = f(16)^2 - 2 = 2005956546822746114
まあ、x^32 + y^32は手計算でもなんとかなりますね。
あとは、2の冪以外では、f(n+1) = f(n)f(1) - xy・f(n-1) とか使って
f(3) = f(2)f(1) - xy・f(1) = 14・4 - 1・4 = 52
f(5) = f(4)f(1) - xy・f(3) = 194・4 - 1・52 = 724
とか。
まあ、x^5 + y^5は、普通に(x^2 + y^2)(x^3 + y^3)を展開すれば、x^5 + y^5が出てきますから、残りの項を (x + y)と xyとで表現するようにして求めても良いですけど。
一応、七乗までは自分で計算したんですけどね。
32乗は実際にやろうとは思わなかったけれど、考えてみれば、十分手で計算できるレベルですね。
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